这里是道长的科普频道🈵！

　　正文里🎐，我们的主角王崎第二次使用的金手指🐌，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间🎭。

　　由于不想再正文水字数🌨，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里🏀！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🐊，而是抽象的🍳、用于演算的工具🌧，即相空间⭐。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面🌠：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🏋，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】🐟。在这样一个平面系统里🏹，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示🌪，例如（1,2）👢，或者（4.3,5.4）🍝，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影🎈。当然🌗，并不一定要使用直角坐标系统🎸，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点➗，但不管怎样👕，对于2维平面来说👆，用两个数字就可以唯一地指明一个点了🏒。如果要描述三维空间中的一个点🍫，那么我们的坐标里就要有3个数字👝，比如（1,2,3）⤵，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影👦。

　　让我们扩展一下思维👘：假如有一个四维空间中的点🏞，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标✔，比如（1,2,3,4）🐖，如果我们用的是直角坐标系统🌭，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影🌫，推广到n维🏁，情况也是一样🌮。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的🌶，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已🌋。

　　我们所关心的是♟：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述✨，而反过来♋，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖🏍。

　　现在让我们回到物理世界🍔，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t⛄，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）🏀，还具有一个确定的动量p🎏。动量也就是速度乘以质量🍳，是一个矢量🍨，在每个维度方向都有分量🏥，所以要描述动量p还得用3个数字🎴：p1🏤，p2和p3🎯，分别表示它在3个方向上的速度⛪。总而言之👆，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态🐬，我们一共要用到6个变量👫。而我们在前面已经看到了🎡，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括⚪，所以用6维空间中的一个点👫，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为🍛。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间⏫。

　　假如一个系统由两个粒子组成🈶，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🎚。但同样👒，我们可以用12维空间中的一个点来代替它🍭。对于一些宏观物体👠，比如一只猫🏏，它所包含的粒子可就太多了☕，假设有n个吧🍩，不过这不是一个本质问题👯，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它☕。这样一来👆，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）🎁。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故🐏，而是因为在数学上🍏，描述一个点的运动🌾，哪怕是6n维空间中的一个点🐞，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便👙。在经典物理中🍬，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点🈲，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述🎙，并得出许多有益的结论🐤。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

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