这里是道长的科普频道👦！

　　正文里🏤，我们的主角王崎第二次使用的金手指🍨，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间🎯。

　　由于不想再正文水字数🐭，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里🍀！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🈺，而是抽象的👖、用于演算的工具🆔，即相空间🏺。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面♐：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🎵，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】🀄。在这样一个平面系统里⛩，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示🐚，例如（1,2）🆓，或者（4.3,5.4）🐾，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影🐟。当然🏠，并不一定要使用直角坐标系统🏧，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点🌅，但不管怎样🌮，对于2维平面来说🏽，用两个数字就可以唯一地指明一个点了👢。如果要描述三维空间中的一个点🆓，那么我们的坐标里就要有3个数字❓，比如（1,2,3）🎛，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影🍄。

　　让我们扩展一下思维🌽：假如有一个四维空间中的点🐉，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标🍗，比如（1,2,3,4）🎰，如果我们用的是直角坐标系统🍓，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影👟，推广到n维🏦，情况也是一样〰。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的✅，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已🌬。

　　我们所关心的是❗：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述🅱，而反过来🐎，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖🎐。

　　现在让我们回到物理世界👎，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t👞，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）👛，还具有一个确定的动量p🆎。动量也就是速度乘以质量👧，是一个矢量🍝，在每个维度方向都有分量⛺，所以要描述动量p还得用3个数字🎯：p1⛴，p2和p3🌗，分别表示它在3个方向上的速度🅰。总而言之🍁，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态🌄，我们一共要用到6个变量🍄。而我们在前面已经看到了➰，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括🐗，所以用6维空间中的一个点🏂，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为👲。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间🉑。

　　假如一个系统由两个粒子组成🌲，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🍿。但同样♏，我们可以用12维空间中的一个点来代替它㊗。对于一些宏观物体🐞，比如一只猫🎣，它所包含的粒子可就太多了⛹，假设有n个吧🐕，不过这不是一个本质问题👕，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它🌑。这样一来✌，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）🏼。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故👀，而是因为在数学上🎼，描述一个点的运动🏪，哪怕是6n维空间中的一个点♿，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便🍟。在经典物理中🐻，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点♿，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述🆑，并得出许多有益的结论⛔。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

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